Bon alors ça mesure combien ?

Article mis en ligne le 2 mars 2016

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Mes amis, l’heure est grave. Dans une guerre qui ne dit pas son nom, des hordes d’internautes se lancent dans des calculs tous azimuts afin de percer ce mystère qui hante le cœur des Hommes depuis la nuit des temps : mais combien mesure donc cette fichue distance Ile de Pâques / Pyramide de Gizeh ?

Avant de nous lancer dans les calculs pour vérifier tout ça, tâchons d’abord de savoir quels sont les moyens à notre disposition pour établir la mesure d’une distance sur notre bonne vieille Terre.

Avertissement : l’objectif ici n’est pas de faire de la géométrie “pure” et de rentrer dans le détail des formules de calcul, mais de présenter les choses de la façon la plus simple et la plus claire possible pour tout le monde.

1/ La Terre c’est quoi ?

On le sait déjà depuis un certain temps, n’en déplaise à certains, la Terre est ronde.

Oui mais, il ne s’agit pas d’une sphère parfaite. En effet, le rayon équatorial (du centre vers l’équateur) est supérieur au rayon polaire (du centre vers les pôles). Ce qui fait que la Terre ressemble plutôt à ce que l’on pourrait décrire comme une sphère « écrasée  ». On appelle ce type de forme géométrique un ellipsoïde.

A : Le rayon équatorial mesure 6378,14km / B : le rayon pôlaire mesure 22km de moins puisqu’il fait 6356,8km

De ce fait, la distance entre le centre de la Terre et le niveau de la mer n’est pas la même partout.

La distance entre le centre de la Terre et le point C est plus grande que celle avec le point B, mais plus petite que celle avec le point A

Mais ce n’est pas non plus tout à fait exact. En effet, la Terre, même en ne tenant pas compte des reliefs situés au dessus du niveau de la mer, n’est pas exactement une forme lisse, uniforme. Du fait que la masse de la Terre est inégalement répartie, le niveau de la mer (que l’on définit comme repère 0 du “sol”) est en réalité différent d’un point à un autre (jusqu’à 100m d’écart). Comme si la Terre était ondulée. On appelle cette forme un Géoïde.

Représentation volontairement exagérée des ondulations de la surface terrestre afin de les mettre en évidence

Je vous laisse imaginer la difficulté de mettre en place un système de calcul de distance sur une telle surface...

Ainsi pour les calculs de tous les jours, on préférera donc se baser sur les modèles plus simples que sont la sphère et l’ellipsoïde, qui ne seront donc jamais parfaitement exacts mais dont on tolérera la marge d’erreur, variable d’un système à l’autre.

2/ Mesurer la distance sur une sphère

C’est le calcul le plus simple puisque le rayon est égal en tout point de la sphère. Avant de poser le calcul, il faut définir quel rayon nous allons utiliser, puisque le rayon équatorial et le rayon polaire sont de longueurs différentes. Si l’on part du rayon équatorial, nos résultats seront trop grands au niveau des pôles. Si l’on part du rayon polaire, nos résultats seront trop courts au niveau de l’équateur. Pour remédier à ce problème, on partira sur un rayon moyen entre les deux afin d’obtenir les résultats avec le moins d’erreurs possible. Ce rayon moyen va se calculer sur la base du volume de la Terre, afin que le volume de la sphère qui en découle soit le plus proche possible de celui de l’ellipsoïde de référence.

Ainsi, le rayon moyen de la Terre est de 6371km.

rayon moyen volumétrique = (2 x rayon équatorial + rayon polaire) / 3

La Fédération Aéronautique Internationale (qui réglemente les compétitions aéronautiques, valide les records, etc) établit toutes ses mesures de distance via le modèle terrestre sphérique, avec pour rayon le rayon moyen. L’outil de mesure de distance de Google Maps utilise lui aussi ce modèle. L’IGN recommande aussi d’utiliser ce rayon.

Mesurer la distance entre 2 points sur une sphère, cela revient à déterminer la longueur du segment le plus court du cercle ayant pour centre le centre de la Terre, et qui passe par ces 2 points (c’est à dire la géodésique, que l’on appelle aussi distance orthodromique dans le cas d’une sphère).

Tous les cercles contenus d’une sphère étant “parfaits”, à partir des angles du triangle formé par le centre de la Terre, le point A et le point B, nous pourrons déterminer la longueur du segment AB (via les radians).

Vous trouverez la formule pour ce calcul dans ce lien : https://fr.wikipedia.org/wiki/Orthodromie

3/ mesurer la distance sur un Ellipsoïde

Notre sphère étant désormais écrasée, ça se complique énormément et on ne peut pas utiliser la même formule que pour la sphère parfaite. Si l’on part de notre point A pour aller jusqu’au point B, la distance de notre position par rapport au centre de la Terre va évoluer en chemin.

Nous allons être obligé d’avoir recours à une méthode itérative. C’est à dire effectuer plusieurs calculs à la suite. Grosso modo, nous allons partir de notre point A, puis nous diriger progressivement vers notre point B en mesurant les segments de chaque étape pour épouser au mieux la surface de l’ellipsoïde. Plus les étapes seront rapprochées, plus le résultat sera précis.

On mesure la distance AA2, puis A2A3, puis A3A4, etc

Si vous voulez voir un exemple de ce genre de méthode de calcul, rendez vous ici où sont présentées les formules de Vincenty : https://en.wikipedia.org/wiki/Vincenty’s_formulae

Pour les mesures sur un Géoïde, le principe serait le même : on calculerait les longueurs de l’ensemble des segments qui composent le trajet (qui ne serait alors plus une courbe mais une sinusoïde).

Il existe différentes références de modèles ellipsoïdaux utilisés à travers le monde, parmi lesquels les plus communs sont :
- Ellipsoïde IAG : défini par un grand cercle de rayon de 6378137 mètres et un aplatissement de 1/298,257222101
- Ellipsoïde Clarke 1880 IGN : défini par un grand cercle de rayon de 6378249,2 mètres et un petit cercle de rayon de 6356515 mètres
- Ellipsoïde International Hayford 1909 : défini par un grand cercle de rayon de 6378388 mètres et un aplatissement de 1/297

Google Earth et le GPS, effectuent leurs calculs en se basant sur le système WGS 84 (dérivé du modèle IAG) qui se définit par un grand cercle de rayon 6378137 mètres et un aplatissement 1/298,257223563.

Vous pouvez retrouver tous ces chiffres ici :
http://geodesie.ign.fr/contenu/fichiers/Modeles_ellipsoides_France.pdf
https://fr.wikipedia.org/wiki/WGS_84

Pour les mesures de courtes distances (<100km), il est possible d’utiliser ce que l’on appelle une sphère locale. Il s’agit de déterminer une sphère dont le rayon correspond à la courbure de la Terre à l’endroit de la zone prise en compte. Évidemment ce type de calcul n’est pertinent que lorsque l’on souhaite mesurer la distance entre deux points de latitudes proches, mais offre alors des résultats très précis. (l’IGN nous montre comment déterminer le rayon d’uns sphère locale dans ce document : http://geodesie.ign.fr/contenu/fichiers/Distance_longitude_latitude.pdf)

Pour les courtes distances, on peut utiliser une sphère locale

Pour les mesures de très courtes distances (<8km), on peut même remplacer carrément la sphère par son plan tangent, la courbure de la Terre n’ayant plus alors qu’une influence parfaitement négligeable.

Pour les très courtes distances, on peut utiliser le plan tangent

4/ Alors c’est quoi la bonne distance ?

Pour des calculs de courtes distances, le modèle sphérique convient parfaitement. Pour des longues distances il faudra lui préférer le modèle ellipsoïde qui est évidement plus précis car il se rapproche au mieux de la forme réelle de la Terre. Nous arrivons donc à la question qui fâche : quelle est la distance île de Pâques / Pyramide de Gizeh ?

Pour nos calculs, nous allons prendre les coordonnées proposées par les pro-LRDP, à savoir :

Pyramide de Kheops : latitude = 29,979468°, longitude = 31,134932°
centre arbitraire de l’île de Pâques : latitude = - 27,112996°, longitude = -109,349581°
(on notera au passage qu’on aimerait bien connaitre la méthode qui a été utilisée pour définir le centre de l’île et sa pertinence...)

Si, comme Google Maps, l’on se base sur le modèle sphérique (rayon moyen de la Terre), cela nous donne :
16160.9994 km

Si, comme Google Earth, l’on part sur le modèle ellipsoïdal WGS 84, on obtient :
16167,7440 km

Les calculs sont vérifiables via cet outil mis à disposition par la FAI :
http://www.fai.org/distance_calculation/

“Docteur, je comprend pas, le monsieur-là il tombe sur 16179,10354515376510063 km, comment se fait-ce” : https://www.facebook.com/notes/rakkam-lerouge/phi-x-10000/10153780271575873

En effet, pour obtenir ce résultat, ce cher Rakkam prend la liberté de partir d’un modèle sphérique de rayon équatorial, et non de rayon moyen (utilisé pour tous les calculs scientifiques de par le monde). Nous avons vu plus haut que partir d’une sphère de rayon équatorial ou de rayon polaire donnait des résultats erronés. Ici la longueur devient plus importante que la réalité (puisqu’il se base sur le plus grand des rayons de la Terre). S’il avait choisi le rayon polaire, son résultat aurait été, à l’inverse, moins important que la réalité : 16124.858006477 km. Le résultat qu’il propose est donc invalide.

“Mais m’sieur, il dit que l’IGN utilise le rayon équatorial dans ses calculs, regardez” : https://www.facebook.com/notes/rakkam-lerouge/phi-x-10000-oui-et-non/10153795315595873?hc_location=ufi

En effet, l’IGN utilise le rayon équatorial, dans un modèle... ellipsoïde ! Par ailleurs, le document présenté ici par Rakkam expose le calcul de distance via la détermination d’une sphère locale, qui comme nous l’avons vu ne s’applique que pour la détermination de courtes distances (<100km) ou de différence de latitude faible. Or Gizeh et l’île de Pâques sont écartés de presque 60° en latitude, soit quelque chose comme très approximativement 6300km sur le plan méridien ! Nous sommes donc très loin de la zone de tolérance de ce genre de méthode.

“Mais j’pige pas, là avec Google Earth il arrive à trouver 16180, alors que vous avez dit que Earth utilisait WGS84 et que donc ça devrait faire 16167 ! Comment c’est possible ?”

Encore une mauvaise interprétation (ou mauvaise foi ?) de Rakkam. Ce qu’affiche Rakkam dans sa capture d’écran, c’est le résultat du trajet suivant le dénivelé entre l’île de Pâques et la Pyramide, et non la courbe uniforme directe qui les relie. Je remarque au passage que notre ami a bien pris soin de fermer la petite fenêtre d’outil qui lui aurait pourtant indiqué une mesure complémentaire de la plus haute importance :

La distance au sol est bel et bien de 16167 km, et le trajet suivant le dénivelé (qui n’est pas la distance la plus courte entre les deux points), lui, de 16179 km. Le plus simple pour démontrer plus concrètement la différence est de faire le test de part et d’autre d’une montagne, le Kilimanjaro par exemple :

Mise en perspective des deux types de mesures, calque de relief désactivé

Ici j’ai placé 2 points de part et d’autre de la montagne, puis incliné la vue et supprimé le calque de relief pour que l’on voit bien la différence. La longueur au sol donne 9,85km, il s’agit de la distance de la ligne plaquée au niveau de la mer. Le trajet, lui, suit le dénivelé entre les deux points (il longe la montagne), et donne forcément un résultat plus grand, à savoir ici 10,9km. On remarquera aussi que les deux points partent de l’altitude du lieu, et non du niveau de la mer. En réactivant le calque de relief on voit comment la ligne de trajectoire épouse la forme de la montagne :

Un autre exemple avec le calque de relief activé

On notera que lorsque le calque de relief est activé, Google Earth utilise pour représenter la ligne de distance “classique” les segments du trajet. Pourquoi ? Tout simplement afin que la ligne reste visible en permanence sinon elle serait masquée par les différents reliefs (vous pouvez faire le test avec l’outil de Trajet 3D qui conserve la ligne plaquée au sol). On notera également que l’outil de calcul de trajet de Google Earth ne prend en compte que les dénivelés situés au dessus du niveau de la mer. Les profondeurs des océans ne sont donc pas prises en compte :

Voici une petite illustration pour résumer les différents résultats possibles et comprendre plus concrètement ce qu’ils mesurent :

Les résultats de mesure utilisant le rayon polaire (raccourcissement des longueurs) ou le rayon équatorial (exagération des longueurs) contiennent de grandes marges d’erreurs et ne sont donc pas pertinents (c’est pour cela qu’aucun organisme ne les utilise). Il existe cependant 2 exceptions :
- pour mesurer la distance entre 2 points alignés sur l’équateur, l’utilisation d’un modèle sphérique de rayon équatorial sera le plus précis.
- pour mesurer la distance entre 2 points alignés sur un méridien, l’utilisation d’un modèle sphérique de rayon polaire donnera les meilleurs résultats.
En dehors de ces deux cas, l’utilisation d’un modèle sphérique de rayon moyen s’impose.

L’outil de trajet de Google Earth est à part, puisqu’il a lui pour objectif de mesurer... un trajet.

Conclusion :

Ni le modèle sphérique ni le modèle ellipsoïde de la Terre ne donnent un résultat égal à 16180km pour la distance île de Pâques / Gizeh. Le modèle le plus précis, celui ellipsoïdal, met en évidence une distance de 16167,744 km.
Nous avons vu par ailleurs que ce résultat était à considérer à titre indicatif puisque pour une mesure parfaite il faudrait se baser sur un modèle Geoïde. Mais tout dépend également de la définition que l’on veut bien donner à une distance entre deux points sur la Terre. Les modèles de calcul que nous utilisons prennent pour référence le niveau de la mer. Mais cette référence étant arbitraire il est tout à fait imaginable d’en définir de nouvelles (point le plus profond de l’océan, sommet le plus élevé, etc).

Voilà, maintenant vous savez pourquoi tous les vols en provenance de Gizeh et en direction de l’île de Pâques s’effectuent avec escale.

A lire également en complément : A propos de la distance Ile de Pâques/Gizeh

Sources et références :
http://www.cosmovisions.com/TerreTable.htm
https://fr.wikipedia.org/wiki/G%C3%A9o%C3%AFde
http://www.bel-horizon.eu/la-cartographie/notions-de-cartographie/ellipsoide-et-geoide.html
https://www.iho.int/iho_pubs/CB/C-13/french/C-13_e1.0.0_FR_Ch2.pdf
http://frederic.chambat.free.fr/ens/diaporamas/gravi_udppc0710.pdf
https://fr.wikipedia.org/wiki/Niveau_de_la_mer
http://www.fai.org/about-fai/history
http://www.flytec.com/Support/Distance_discrepancies.pdf
http://geodesie.ign.fr/contenu/fichiers/Distance_longitude_latitude.pdf
https://en.wikipedia.org/wiki/Vincenty’s_formulae
http://www.movable-type.co.uk/scripts/latlong-vincenty.html
http://geographiclib.sourceforge.net/scripts/geod-calc.html
https://en.wikipedia.org/wiki/Geographical_distance
http://arxiv.org/pdf/1109.4448.pdf


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